FUNCION LOGARÍTMICA

Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.
Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:
loga N = x
y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».
Por lo tanto, loga N = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N
(notación exponencial).
Notación logarítmica Notación exponencial
log 2 8 = 3
log 1/2 4 = -2
log 7 7³ = 3 2³ = 8
(1/2)-2 = 2 ² = 4
7³ = 7³
Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a° = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a¹ = a
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es negativo si la base a del logaritmo es a>1.

Así, por ejemplo, log 3 1/9 = -2, ya que 3-2 = 1/9
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es positivo si la base a del logaritmo es a<1.
Por ejemplo, log 1/3 1/9 = 2, ya que (1/3) ² = 1/9
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1.
Así, log3 9 = 2; ya que 3 ² = 9
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.
Así, log 1/5 25 = -2, ya que (1/5)-2 = 25

LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NATURALES
De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.
Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:
log10 X = log X
Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.
Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:
log 1 = 0; puesto que 10° = 1. ® log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000.
log 10 = 1; puesto que 10¹ = 10. ® log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.
Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:
loge X = ln X = LX
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
ln 1 = 0; puesto que e° = 1
ln e ² = 2; puesto que e ² = e ²
ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1
El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión
Su valor, con seis cifras decimales, es
e = 2,718281...

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARITMICAS
Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo.
Así en la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica.
Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas.
Por ejemplo, log x + log y³ = 5
log x/y = 1
Cómo se resuelven ecuaciones logarítmicas
Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B.
Una vez conseguido, se aplica la equivalencia
log A = log B Û A = B,
deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas