EJERCICIOS

Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales
1) Resolver el sistema: 2x - 4 ².y = 0
x - y = 15
Resolución:
Se despeja x en la segunda ecuación:
x = 15 + y
Se sustituye este valor de x en la primera ecuación:
215+y - 4 ².y = 0 (Pero 4 = 2 ²)
215+y - (2 ²) ².y = 0
215+y - 24y = 0 Þ 215+y = 24y Þ 15 + y = 4 y Þ 3 y = 15 Þ y = 5
Se sustituye el valor de y = 5 en x = 15 + y:
x = 15 + 5 = 20
Por tanto, y = 5 x = 20
2) Resolver el sistema: 22.x + 5.y = 2
2-.x + y = 8
Resolución:
Se ponen todos los factores como potencia de base 2:
22.x + 5.y = 2¹ Þ 2.x + 5.y = 1
2-x + y = 2³ Þ -x + y = 3
Resolviendo este sistema de ecuaciones por cualquier método resulta,
x = -2; y = 1
3) Resolver el sistema: 2x + 2y = 24
2x.2y = 128
Resolución:
2x + 2y = 24 Haciendo el cambio 2x = a resulta el sistema
2x.2y = 128 2y = b
a + b = 24 Resolviendo este sistema se obtiene a = 8; b = 16
Ejercicio: resolución de ecuaciones logarítmicas
Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9).
Resolución:
log x ² = log 10 + log (x - 0´ 9)
log x ² = log [10 (x - 0´ 9)] Þ x ² = 10 (x - 0´ 9)
x ² = 10. x - 9 Þ x ² - 10 x + 9 = 0
x = (10 ± √100 - 4.9)/2 = (10 ± √64)/2 = (10 ± 8)/2 = 5 ± 4
Hay dos soluciones: x = 9 y x = 1
2) Resolver la ecuación 3.log x - log 32 = log x/2
Resolución:
log x³ - log 32 = log x/2 Þ log x³/32 = log x/2 Þ x³/32 = x/2 Þ x³ - 16.x = 0
x no puede ser cero pues no existe log 0
x ² = 16 Þ x = ±4
La solución x = -4 no es válida puesto que los números negativos no tienen logaritmo. Por lo tanto, x = 4.
Ejercicio: ecuaciones exponenciales que se resuelven utilizando logaritmos
Resolver la ecuación 2x = 57.
Resolución:
Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x = log 57
x.log 2 = log 57 Þ x = log 57/log 2 Þ x = 1,7558/0,3010 = 5,8332
Resolver 4³.x = 8x + 6.
Resolución:
Expresando 4 y 8 como potencias de dos (2 ²)³.x = (2³)x + 6.
Esta ecuación puede escribirse como (2³.x) ² = 2³.x + 6.
Haciendo el cambio 2³.x = y, la ecuación se escribe y ² = y + 6.
Ahora basta con resolver esta ecuación de segundo grado y deshacer el cambio de variable para obtener el valor de x.
y ² - y - 6 = 0
y = (1 ± √1 + 24)/2 = (1 ± √25)/2 = (1 ± 5)/2
Las dos soluciones son y1 = 3; y2 = -2
Para y1 = 3, 2³.x = 3. Tomando logaritmos en ambos miembros,
log 2³.x = log 3 Þ 3.x.log 2 = log 3 Þ x = log 3/(3.log 2) Þ x = 0,4771/(3.0,3010) Þ x = 0,5283
Para y2 = -2, 2³.x = -2. No existe un número x que verifique esto ya que 2³.x es siempre positivo.
Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas
1) Resolver el sistema: log x + log y³ = 5
log x/y = 1
Resolución:
log xy³ = log 105 Þ xy³ = 105
log x/y = log 10 Þ x/y = 10 Þ x = 10.y
10 y4 = 105 Þ y4 = 104 Þ y = 10 (El resultado y = -10 no tiene sentido.)
Como x = 10 y Þ x = 10•10 = 100