miércoles, 21 de abril de 2010

Colegio de Ciencias y Humanidades plantel Sur

Tema:Funciones Exponenciales y Logaritmicas

Integrantes:


*Ramírez Chávez Paulina *Betancourt Quesnel R.Avanghy

*Solís Cisneros I.Daniela *Sánchez Vázquez Anahid

*Garduño Hernandez Jennifer


Grupo:422A

martes, 20 de abril de 2010

EJERCICIOS

Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales
1) Resolver el sistema: 2x - 4 ².y = 0
x - y = 15
Resolución:
Se despeja x en la segunda ecuación:
x = 15 + y
Se sustituye este valor de x en la primera ecuación:
215+y - 4 ².y = 0 (Pero 4 = 2 ²)
215+y - (2 ²) ².y = 0
215+y - 24y = 0 Þ 215+y = 24y Þ 15 + y = 4 y Þ 3 y = 15 Þ y = 5
Se sustituye el valor de y = 5 en x = 15 + y:
x = 15 + 5 = 20
Por tanto, y = 5 x = 20
2) Resolver el sistema: 22.x + 5.y = 2
2-.x + y = 8
Resolución:
Se ponen todos los factores como potencia de base 2:
22.x + 5.y = 2¹ Þ 2.x + 5.y = 1
2-x + y = 2³ Þ -x + y = 3
Resolviendo este sistema de ecuaciones por cualquier método resulta,
x = -2; y = 1
3) Resolver el sistema: 2x + 2y = 24
2x.2y = 128
Resolución:
2x + 2y = 24 Haciendo el cambio 2x = a resulta el sistema
2x.2y = 128 2y = b
a + b = 24 Resolviendo este sistema se obtiene a = 8; b = 16
Ejercicio: resolución de ecuaciones logarítmicas
Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9).
Resolución:
log x ² = log 10 + log (x - 0´ 9)
log x ² = log [10 (x - 0´ 9)] Þ x ² = 10 (x - 0´ 9)
x ² = 10. x - 9 Þ x ² - 10 x + 9 = 0
x = (10 ± √100 - 4.9)/2 = (10 ± √64)/2 = (10 ± 8)/2 = 5 ± 4
Hay dos soluciones: x = 9 y x = 1
2) Resolver la ecuación 3.log x - log 32 = log x/2
Resolución:
log x³ - log 32 = log x/2 Þ log x³/32 = log x/2 Þ x³/32 = x/2 Þ x³ - 16.x = 0
x no puede ser cero pues no existe log 0
x ² = 16 Þ x = ±4
La solución x = -4 no es válida puesto que los números negativos no tienen logaritmo. Por lo tanto, x = 4.
Ejercicio: ecuaciones exponenciales que se resuelven utilizando logaritmos
Resolver la ecuación 2x = 57.
Resolución:
Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x = log 57
x.log 2 = log 57 Þ x = log 57/log 2 Þ x = 1,7558/0,3010 = 5,8332
Resolver 4³.x = 8x + 6.
Resolución:
Expresando 4 y 8 como potencias de dos (2 ²)³.x = (2³)x + 6.
Esta ecuación puede escribirse como (2³.x) ² = 2³.x + 6.
Haciendo el cambio 2³.x = y, la ecuación se escribe y ² = y + 6.
Ahora basta con resolver esta ecuación de segundo grado y deshacer el cambio de variable para obtener el valor de x.
y ² - y - 6 = 0
y = (1 ± √1 + 24)/2 = (1 ± √25)/2 = (1 ± 5)/2
Las dos soluciones son y1 = 3; y2 = -2
Para y1 = 3, 2³.x = 3. Tomando logaritmos en ambos miembros,
log 2³.x = log 3 Þ 3.x.log 2 = log 3 Þ x = log 3/(3.log 2) Þ x = 0,4771/(3.0,3010) Þ x = 0,5283
Para y2 = -2, 2³.x = -2. No existe un número x que verifique esto ya que 2³.x es siempre positivo.
Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas
1) Resolver el sistema: log x + log y³ = 5
log x/y = 1
Resolución:
log xy³ = log 105 Þ xy³ = 105
log x/y = log 10 Þ x/y = 10 Þ x = 10.y
10 y4 = 105 Þ y4 = 104 Þ y = 10 (El resultado y = -10 no tiene sentido.)
Como x = 10 y Þ x = 10•10 = 100

RELACION FUNCIÓN LOGARÍTMO EXPONENCIAL

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Para comprobar que dos funciones son inversas basta con:
1°. Intercambiar entre sí las variables x e y en una de las dos funciones.
2°. Despejar la variable y, y comprobar que se obtiene la otra función.
niEn este caso:
1°. En la función logarítmica y = log a x se intercambia x por y,
obteniendo: x = log a y.
2°. Despejando la variable y en x = loga y, se tiene y = ax, es decir la función exponencial.
Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Representando en un mismo diagrama las funciones y = log a x e y = ax, los resultados son estas gráficas.

CAMBIO DE BASE

Para un mismo número X existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se tome.
Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2,079441... según que la base considerada sea 8, 1/8, 2, 1/2, 10, e ...
Es posible pasar del logaritmo de un número en una base a determinada al logaritmo de ese mismo número en otra base b, sin más que aplicar la siguiente fórmula:
log b x = log a x/log a b
Demostración:
Sea:
log a x = A Þ aA = x
log b x = B Þ bB = x Þ aA = bB
Tomando logaritmos en base a en la igualdad anterior, se tiene:
loga aA = loga bB Þ A loga a = B loga b
Despejando B, y teniendo en cuenta que loga a = 1, se tiene:
B = A/log a b
es decir,
log b x = log a x/log a b
Ejercicio: cambios de base de logaritmos
Sabiendo que log2 8 = 3, calcular log16 8
Resolución:
Aplicando la fórmula, log 16 8 = log 2 8/log 2 16 = 3/4 = 0,75
Sabiendo que log 3 27 = 3, calcular log 9 27
Resolución:
log 9 27 = log 3 27/log 3 9 = 3/2 = 1,5
Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log7 2.
Resolución:
log 7 2 = log 2/log 7 = 0,301030/0,845098 = 0,356207

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.
loga(X • Y) = loga X + loga Y
Demostración:
Sea loga X = x; esto significa que ax = X.
Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y.
loga(X • Y) = loga (ax • ay) = loga ax + y = x + y = loga X + loga Y
Este resultado se puede generalizar para más de dos factores.
Si X1 , X2 , X3 , ..., Xn son n números reales, positivos y no nulos,
loga(X1 • X2 ... Xn) = loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn
2. Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
log a X/Y = log a X - log a Y
Demostración:
Sea loga X = x; esto significa que ax = X
Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y
log a (X/Y) = log a (ax/ay) = log a (ax - y) = x - y = log a X - log a Y
3. Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.
loga Xn = n loga X
Demostración:
Sea loga X = x; esto significa que ax = X.
loga Xn = loga (ax)n = loga anx = nx = n loga X
4. Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

Obsérvese que las propiedades anteriores se refieren al logaritmo de un producto, un cociente, una potencia y una raíz, pero nada se ha dicho sobre el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo de una suma o de una resta no admite desarrollo.
En este caso se trata de hacer el proceso inverso que en los casos

FUNCION LOGARÍTMICA

Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.
Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:
loga N = x
y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».
Por lo tanto, loga N = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N
(notación exponencial).
Notación logarítmica Notación exponencial
log 2 8 = 3
log 1/2 4 = -2
log 7 7³ = 3 2³ = 8
(1/2)-2 = 2 ² = 4
7³ = 7³
Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a° = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a¹ = a
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es negativo si la base a del logaritmo es a>1.

Así, por ejemplo, log 3 1/9 = -2, ya que 3-2 = 1/9
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es positivo si la base a del logaritmo es a<1.
Por ejemplo, log 1/3 1/9 = 2, ya que (1/3) ² = 1/9
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1.
Así, log3 9 = 2; ya que 3 ² = 9
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.
Así, log 1/5 25 = -2, ya que (1/5)-2 = 25

LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NATURALES
De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.
Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:
log10 X = log X
Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.
Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:
log 1 = 0; puesto que 10° = 1. ® log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000.
log 10 = 1; puesto que 10¹ = 10. ® log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.
Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:
loge X = ln X = LX
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
ln 1 = 0; puesto que e° = 1
ln e ² = 2; puesto que e ² = e ²
ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1
El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión
Su valor, con seis cifras decimales, es
e = 2,718281...

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARITMICAS
Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo.
Así en la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica.
Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas.
Por ejemplo, log x + log y³ = 5
log x/y = 1
Cómo se resuelven ecuaciones logarítmicas
Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B.
Una vez conseguido, se aplica la equivalencia
log A = log B Û A = B,
deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas

FUNCION EXPONENCIAL

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función
f:R ® R
x ® f(x) = ax
Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee «exponencial en base a de x».
Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:
1. a° = 1
2. a-n = 1/an
Ejemplos de funciones exponenciales
1. La función y = 2x es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta función, f:R ® R
f(-3) = 2-³ = 1/2³ = 1/8
f(-1/2) = 2-1/2 = 1/21/2 = 1/√2
f(1) = 2¹ = 2
Propiedades de la función exponencial y = a x
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a° = 1
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a
3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.
4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.
5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.
No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:
1. ax = ay Û x = y
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.
2. ax.ay = ax + y
3. ax/ay = ax - y
4. (ax)y = ax.y
El uso de los logaritmos, como se verá más adelante, facilita en muchas ocasiones la resolución de estas ecuaciones.