REPASO DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Las funciones lineales, cuadráticas, polinómicas y racionales se conocen como funciones algebraicas. Las funciones algebraicas son funciones que se pueden expresar en términos de operaciones algebraicas. Si una función no es algebraica se llama una función transcendental. Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son funciones transcendentales.
Definición: Una función exponencial es una función de la forma y = ax, donde a>0 y a es diferente de uno.

Nota: Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2x. Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una función decreciente, como lo es f(x) = 2-x.

Algunas características de las funciones exponenciales crecientes:
1) El dominio es el conjunto de los números reales.
2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.
3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos.
4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).
5) Son funciones continuas.

Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes:
1) El dominio es el conjunto de los números reales.
2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.
3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos.
4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).
5) Son funciones continuas.

Pero la mayoría de las ecuaciones exponenciales no tienen soluciones tan evidentes.
Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener y. Esto es, si a > 0 y a es diferente de uno, entonces logay = x si y sólo si y = ax.
Nota: La ecuación logay = x se lee "el logaritmo de y en la base a es x".
Propiedades de los logaritmo comunes: Para a > 1.
1) loga 1 = 0
2) loga a = 1
3) loga (u v) = loga u + loga v

5) loga (un) = n loga u
6) loga M = loga N, entonces M = N

Función exponencial natural:
La letra a que aparece en la función exponencial se llama la base. La base puede ser cualquier número real positivo (ver definición de función exponencial). Sin embargo, hay casos donde se usa como base un número irracional denotado por e = 2.71828...
La función exponencial f(x) = ex se conoce como la función exponencial natural.

Logaritmo natural:
También podemos formar logaritmos con base e. Estos se llaman logaritmos naturales. Se representan por el símbolo ln. De manera, que si y = ex, entonces x = loge y = ln.
El logaritmo natural tiene todas las propiedades para logaritmos con base general a. En particular:
1) ln (u v) = ln (u) + ln (v)

3) ln un = n ln u
4) ln e = 1
5) ln 1 = 0